כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 אינטגרביליות על מלבן
1.1 הגדרות
הגדרה 1.1. מלבן:
מלבן ב-\(\MKreal^{2}\) הוא קבוצה מהצורה \(\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\) כאשר \(a,b,c,d\in\MKreal\); הצגה ברורה יותר של הקבוצה היא:\[
R:=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\in\MKreal^{2} & a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\end{array}\right\}
\]את השטח של המלבן (שהוא \(\left(b-a\right)\left(c-d\right)\)) נסמן ב-\(A\left(R\right)\).
הגדרה 1.2. שריג יהי \(R\subseteq\MKreal^{2}\) מלבן, שריג על \(R\) הוא זוג סדור \(P:=\left(P_{1},P_{2}\right)\) כאשר \(P_{1}\) היא חלוקה של \(\left[a,b\right]\) ו-\(P_{2}\) היא חלוקה של \(\left[c,d\right]\).
\(\clubsuit\)
שריג הוא המושג המקביל של חלוקה מאינפי'2.
\(\clubsuit\)
למת החתכים נותנת תנאים שקולים לקיום השוויון.
הגדרה 1.3. עידון של שריג יהי \(R\) מלבן, עידון של שריג\(P:=\left(P_{1},P_{2}\right)\) הוא כל שריג \(Q:=\left(Q_{1},Q_{2}\right)\) על \(R\) המקיים \(Q_{1}\subseteq P_{1}\) ו-\(Q_{2}\subseteq P_{2}\).
יהי \(R\subseteq\MKreal^{2}\) מלבן, יהי \(P\) שריג על \(R\), יהיו \(R_{1},R_{2},\ldots,R_{n}\subseteq R\) כל תתי המלבנים שמגדירה \(P\) ותהא \(f:R\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה.
הגדרה 1.4. סכומי דארבו1ערך בוויקיפדיה: גסטון ז'אן דארבו. נסמן (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)):\[
M_{i}:=\sup\left\{ f\left(x\right)\mid x\in R_{i}\right\} ,\ m_{i}:=\inf\left\{ f\left(x\right)\mid x\in R_{i}\right\}
\]ונגדיר:\[
U\left(f,P\right):=\sum_{i=1}^{n}M_{i}\cdot A\left(R_{i}\right),\ L\left(f,P\right):=\sum_{i=1}^{n}m_{i}\cdot A\left(R_{i}\right)
\]ל-\(U\left(f,P\right)\) נקרא סכום דארבו העליון של \(f\) עבור \(P\) ול-\(L\left(f,P\right)\) נקרא סכום דארבו התחתון של \(f\) עבור \(P\).
טענה 1.5. יהי \(Q\) עידון של \(P\), מתקיים:\[
L\left(f,P\right)\leq L\left(f,Q\right)\leq U\left(f,Q\right)\leq U\left(f,P\right)
\]
טענה 1.6. יהיו \(m,M\in\MKreal\) כך שלכל \(y\in\MKim f\) מתקיים \(m\leq y\leq M\), לכל שני שריגים \(Q\) ו-\(\tilde{Q}\) על \(R\) מתקיים:\[
m\cdot A\left(R\right)\leq L\left(f,Q\right)\leq U\left(f,\tilde{Q}\right)\leq M\cdot A\left(R\right)
\]
נסמן ב-\(\mathcal{L}\) את קבוצת סכומי דרבו התחתונים של \(f\) עבור כל השריגים על \(R\) וב-\(\mathcal{U}\) את קבוצת סכומי דרבו העליונים של \(f\) עבור כל השריגים על \(R\), כפי שראינו לעיל אלו קבוצות חסומות.
הגדרה 1.7. אינטגרל עליון ואינטגרל תחתון
האינטגרל העליון של \(f\) ב-\(R\) הוא:\[
\overline{\iintop_{R}}f\ dA:=\inf\left(\mathcal{U}\right)
\]
האינטגרל התחתון של \(f\) ב-\(R\) הוא:\[
\underline{\iintop_{R}}f\ dA:=\sup\left(\mathcal{L}\right)
\]
מסקנה 1.8. מתקיים:\[
\underline{\iintop_{R}}f\ dA\leq\overline{\iintop_{R}}f\ dA
\]
הגדרה 1.9. אינטגרביליות נאמר ש-\(f\)אינטגרבילית ב-\(R\) אם מתקיים:\[
\underline{\iintop_{R}}f\ dA=\overline{\iintop_{R}}f\ dA
\]ואז נסמן את הערך המשותף ב-\(\begin{alignedat}{1}\iintop_{R}f\ dA\end{alignedat}
\)ונקרא לו האינטגרל של \(f\) ב-\(R\).
הגדרה 1.10. נפח אם \(f\) אי-שלילית נאמר ש-\(\begin{alignedat}{1}\iintop_{R}f\ dA\end{alignedat}
\) הוא הנפח של הקבוצה:\[
\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\in\MKreal^{3} & \begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\in R,\ 0\leq z\leq f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\end{array}\right\}
\]
1.2 תכונות בסיסיות של אינטגרביליות
יהי \(R:=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]\subseteq\MKreal^{2}\) מלבן ותהיינה \(f,g:R\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות אינטגרביליות ב-\(R\).
משפט 1.11. תכונות בסיסיות של אינטגרביליות
אם \(f\) אי-שלילית אז גם \(\begin{alignedat}{1}0\leq\iintop_{R}f\ dA\end{alignedat}
\).
אם \(f\left(x\right)\geq g\left(x\right)\) לכל \(x\in R\) אז גם \(\begin{alignedat}{1}\iintop_{R}f\ dA\geq\iintop_{R}g\ dA\end{alignedat}
\).
לכל \(\lambda\in\MKreal\) הפונקציה \(\lambda\cdot f\) אינטגרבילית ב-\(R\) ומתקיים:\[
\iintop_{R}\lambda\cdot f\ dA=\lambda\cdot\iintop_{R}f\ dA
\]
משפט 1.12. הפונקציה \(f\cdot g\) אינטגרבילית ב-\(R\).
טענה 1.13. אם קיים \(0<m\in\MKreal\) כך ש-\(m\leq\left|g\left(x\right)\right|\) לכל \(x\in R\) אז הפונקציה \(\frac{1}{g}\) אינטגרבילית ב-\(R\).
מסקנה 1.14. אם קיים \(0<m\in\MKreal\) כך ש-\(m\leq\left|g\left(x\right)\right|\) לכל \(x\in R\) אז הפונקציה \(\frac{f}{g}\) אינטגרבילית ב-\(R\).
טענה 1.15. אם \(f\left(x\right)\equiv1\) אז \(\begin{alignedat}{1}\iintop_{R}f\ dA=A\left(R\right)\end{alignedat}
\).
משפט 1.16. הפונקציה \(\left|f\right|\) אינטגרבילית ב-\(R\) ומתקיים:\[
\left|\iintop_{R}f\ dA\right|\leq\iintop_{R}\left|f\right|dA
\]
\(\clubsuit\)
נשים לב לדמיון לא“ש המשולש, גם כאן הערך המוחלט של ה“סכום“ קטן או שווה לסכום של הערכים המוחלטים ומבחינה אינטואיטיבית זה קורה מאותה סיבה.
טענה 1.17. יהי \(R'\subseteq R\) מלבן, \(f\) אינטגרבילית ב-\(R'\).
טענה 1.18. יהי \(\gamma\in\left(a,b\right)\), נסמן \(R_{1}:=\left[a,\gamma\right]\times\left[c,d\right]\) ו-\(R_{2}:=\left[\gamma,b\right]\times\left[c,d\right]\) ותהא \(h\) פונקציה אינטגרבילית על \(R_{1}\) ועל \(R_{2}\), \(h\) אינטגרבילית על \(R=R_{1}\cup R_{2}\) ומתקיים:\[
\iintop_{R}h\ dA=\iintop_{R_{1}}h\ dA+\iintop_{R_{2}}h\ dA
\]
משפט 1.19. אם \(f\) רציפה אז \(f\) אינטגרבילית ב-\(R\).
משפט 1.20. משפט פוביני2ערך בוויקיפדיה: גווידו פוביני.
אם \(f\) אינטגרבילית ב-\(R\) ולכל \(y\in\left[c,d\right]\) קיים האינטגרל \(\intop_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx\) אז קיים האינטגרל הנשנה \(\intop_{c}^{d}\left(\intop_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx\right)dy\) ומתקיים:\[
\intop_{c}^{d}\left(\intop_{a}^{b}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dx\right)dy=\iintop_{R}fdA
\]
אם \(f\) אינטגרבילית ב-\(R\) ואם לכל \(x\in\left[a,b\right]\) קיים האינטגרל \(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\) אז קיים האינטגרל הנשנה \(\intop_{a}^{b}\left(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\right)dy\) ומתקיים:\[
\intop_{a}^{b}\left(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\right)dy=\iintop_{R}fdA
\]
\(\clubsuit\)
הרעיון הוא שאנחנו "פורסים" את הנפח המבוקש לפרוסות דקות וסוכמים אותן.
\(\clubsuit\)
לכתוב על הקשר בין משפט פוביני למשפט שוורץ (הנוסחה היסודית).
\(\clubsuit\)
זה דומה מאד לעובדה שמתקיים3שהרי לא משנה באיזה סדר סוכמים איברים בטבלה.:\[
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_{i,j}=\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}x_{i,j}
\]רק שכאן הסכימה רציפה ולא בדידה.
מסקנה 1.21. אם \(f\) אינטגרבילית ב-\(R\) ובנוסף לכל \(y\in\left[c,d\right]\) קיים האינטגרל \(\intop_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx\) ולכל \(x\in\left[a,b\right]\) קיים האינטגרל \(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\) אז מתקיים:\[
\intop_{c}^{d}\left(\intop_{a}^{b}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dx\right)dy=\iintop_{R}fdA=\intop_{a}^{b}\left(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\right)dy
\]
טענה 1.22. אם \(f\) רציפה אז לכל \(y\) הפונקציה \(g:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=f{x \choose y}\) רציפה וכמו כן גם הפונקציה \(h:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י \(h\left(x\right):=f{x \choose y}\) רציפה.
מסקנה 1.23. אם \(f\) רציפה אז מתקיים:\[
\intop_{c}^{d}\left(\intop_{a}^{b}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dx\right)dy=\iintop_{R}fdA=\intop_{a}^{b}\left(\intop_{c}^{d}f\left(x,y\right)dx\right)dy
\]
2 אינטגרביליות על קבוצה כללית
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. אינטגרביליות על קבוצה שאינה מלבן תהיינה \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה חסומה ו-\(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה ויהי \(R\subseteq\MKreal^{2}\) מלבן כך ש-\(D\subseteq R\), נאמר ש-\(f\)אינטגרבילית על \(D\) אם הפונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(\left(x,y\right)\in R\)):\[
g\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}:=\begin{cases}
f\left(x,y\right) & \left(x,y\right)\in D\\
0 & \left(x,y\right)\notin D
\end{cases}
\]אינטגרבילית ב-\(R\) ובמקרה כזה נאמר שהאינטגרל של \(f\) ב-\(D\) הוא:\[
\iintop_{D}f\ dA=\iintop_{R}g\ dA
\]
\(\clubsuit\)
נשים לב שלכל מלבן המקיים \(D\subseteq R\) נקבל את אותו אינטגרל ולכן האינטגרל מוגדר היטב.
\(\clubsuit\)
הרעיון מאחורי ההגדרה של קבוצה נורמלית הוא שקבוצות נורמליות הן "כמעט" מלבנים4בהצגה קוטבית המלבנים הם קבוצות מהצורה \(\left\{ \left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)\in\MKreal^{2}\mid a\leq r\leq b,\ c\leq\theta\leq d\right\} \)..
הגדרה 2.2. קבוצה בעלת שטח תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה חסומה, נאמר ש-\(D\)בעלת שטח אם \(\chi_{D}\) (הפונקציה המציינת של \(D\)) אינטגרבילית ב-\(D\) ואז נגדיר את השטח של \(D\) ע"י:\[
A\left(D\right):=\iintop_{D}\chi_{D}dA
\]
הגדרה 2.3. קבוצה נורמלית תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה.
נאמר ש-\(D\)נורמלית ביחס לציר ה-\(x\) אם קיים קטע סגור \(I\subseteq\MKreal\) וקיימות שתי פונקציות \(g_{1},g_{2}:I\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים\[
D=\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x\in I,\ g_{1}\left(x\right)\leq y\leq g_{2}\left(x\right)\right\}
\]
נאמר ש-\(D\)נורמלית ביחס לציר ה-\(y\) אם קיים קטע סגור \(I\subseteq\MKreal\) וקיימות שתי פונקציות \(g_{1},g_{2}:I\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים\[
D=\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid y\in I,\ g_{1}\left(x\right)\leq x\leq g_{2}\left(x\right)\right\}
\]
נאמר ש-\(D\)נורמלית בהצגה קוטבית אם קיים קטע סגור \(I\subseteq\left[0,2\pi\right]\) וקיימות שתי פונקציות \(g_{1},g_{2}:I\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים\[
D=\left\{ \left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)\in\MKreal^{2}\mid\theta\in I,\ 0\leq g_{1}\left(x\right)\leq r\leq g_{2}\left(x\right)\right\}
\]
טענה 2.4. כל קבוצה נורמלית היא קבוצה בעלת שטח.
טענה 2.5. כל הטענות והמשפטים שראינו בסעיף 1.1 לגבי אינטגרביליות על מלבן נכונות גם עבור קבוצות בעלות שטח5כלומר בכל אחת מהטענות הללו ניתן להחליף את המלבן \(R\) בקבוצה בעלת שטח \(D\) והטענה תישאר נכונה. מלבד טענה 1.7שדורשת ניסוח שונה מעט: תהיינה \(D_{1},D_{2}\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצות בעלות שטח כך ש-\(D_{1}\cap D_{2}\)בעלת שטח \(0\), נסמן \(D:=D_{1}\cup D_{2}\) ותהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה אינטגרבילית על \(D_{1}\) ועל \(D_{2}\); \(f\) אינטגרבילית על \(D\) ומתקיים:\[
\iintop_{D}f\ dA=\iintop_{D_{1}}f\ dA+\iintop_{D_{2}}f\ dA
\]
משפט 2.6. קבוצה חסומה \(D\subseteq\MKreal^{2}\) היא בעלת שטח אם"ם \(\partial D\) (קבוצת נקודות השפה של \(D\)) היא בעלת שטח \(0\).
משפט 2.7. תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) ותהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה6האם לא מספיק שלכל \(x\in\left[a,b\right]\) קיים האינטגרל\[
\intop_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dy
\]??? ב-\(D\).
נניח ש-\(D\) קבוצה נורמלית לפי \(x\), יהי \(\left[a,b\right]\subseteq\MKreal\) קטע סגור ותהיינה \(g_{1},g_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות כך שמתקיים\[
D=\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x\in\left[a,b\right],\ g_{1}\left(x\right)\leq y\leq g_{2}\left(x\right)\right\}
\]מתקיים גם:\[
\iintop_{D}f\ dA=\intop_{a}^{b}\left(\intop_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dy\right)dx
\]
נניח ש-\(D\) קבוצה נורמלית לפי \(y\), יהי \(\left[c,d\right]\subseteq\MKreal\) קטע סגור ותהיינה \(h_{1},h_{2}:\left[c,d\right]\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות כך שמתקיים\[
D=\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid y\in\left[c,d\right],\ h_{1}\left(x\right)\leq y\leq h_{2}\left(x\right)\right\}
\]מתקיים גם:\[
\iintop_{D}f\ dA=\intop_{c}^{d}\left(\intop_{h_{1}\left(y\right)}^{h_{2}\left(y\right)}f\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}dx\right)dy
\]
3 החלפת משתנים
3.1 הגדרות
להוסיף כאן אינטואיציה להצבה במשתנה אחד - העיוות של הישר הממשי/המרחב ע"י הפונקציה והתיקון הנדרש.
תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה חסומה, תהיינה \(x,y:D\rightarrow\MKreal\) ותהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{2}\) המוגדרת ע"י (לכל \(\left(s,t\right)\in D\)):\[
f\begin{pmatrix}s\\
t
\end{pmatrix}:=\begin{bmatrix}x\left(s,t\right)\\
y\left(s,t\right)
\end{bmatrix}
\]
\(\clubsuit\)
מטריצת יעקובי של \(f\) בנקודה פנימית \(P\in D\) היא המטריצה הבאה:\[
J_{f}\left(P\right):=\left[\begin{array}{cc}
x_{s}'\left(P\right) & x_{t}'\left(P\right)\\
y_{s}'\left(P\right) & y_{t}'\left(P\right)
\end{array}\right]
\]אם כל הנגזרות החלקיות המופיעות במטריצה רציפות ב-\(P\) אז כפי שלמדנו הדבר גורר ש-\(f\) דיפרנציאבילית ב-\(P\) ויתרה מזאת מטריצת יעקובי היא המטריצה המייצגת (בבסיס הסטנרדטי) של ההעתקה הליניארית המהווה את הדיפרנציאל של \(f\) ב-\(P\), הדטרמיננטה של מטריצה יעקובי בנקודה \(P\) נקראת היעקוביאן של \(f\) ב-\(P\).
\(\clubsuit\)
הרעיון הוא בדיוק כמו במשפט ההצבה של האינטגרל המסוים באינפי'2: אנחנו מציבים בתוך הפונקציה שעליה מתבצעת האינטגרציה פונקציה פנימית אבל מכיוון שהאחרונה מעוותת את המרחב עלינו לבצע תיקון, וזה מתבצע ע"י כפל בדטרמיננטה של ההעתקה הליניארית המהווה את הדיפרנציאל של הפונקציה הפנימית בכל נקודה7כלומר \(\left|J_{f}\right|\) היא בעצמה פונקציה המוגדרת ע"י הדטרמיננטה של \(J_{f}\) בנקודה..
\(\clubsuit\)
לא הבאנו כאן את התנאים למשפט מפני שלא למדנו אותם בכיתה, בספר שנועה המליצה עליו (היא קראה לו "הספר של אנטון") נכתב שהתנאים הם ש-\(f\) חח"ע, \(g\) רציפה, הנגזרות החלקיות של \(x\) ו-\(y\) בכל נקודה ב-\(D\) רציפות בנקודה זו (כלומר \(f\) דיפרנציאבילית ב-\(D\)) ו-"התחומים \(R\) ו-\(D\) אינם מסובכים מדי".
משפט 3.1. הצבה תהא \(g:R\rightarrow\MKreal\) (\(R\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה חסומה שאינה בהכרח מלבן), תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה חסומה, תהיינה \(x,y:D\rightarrow\MKreal\) ותהא \(f:D\rightarrow\MKreal^{2}\) המוגדרת ע"י (לכל \(\left(s,t\right)\in D\)):\[
f\begin{pmatrix}s\\
t
\end{pmatrix}:=\begin{bmatrix}x\left(s,t\right)\\
y\left(s,t\right)
\end{bmatrix}
\] כך ש-\(\MKim\left(f\right)=R\). מתקיים:\[
\iintop_{R}g\ dA=\iintop_{D}\left(g\circ f\right)\cdot\left|J_{f}\right|\ dA
\]
תהא \(h:\left[0,\infty\right)\times\left[0,2\pi\right)\rightarrow\MKreal^{2}\) הפונקציה המעבירה מהצגה קוטבית להצגה קרטזית8למעשה יש להגביל את התחום ל-\(\left(0,\infty\right)\times\left[0,2\pi\right)\) איחוד עם \(\left\{ \left(0,0\right)\right\} \) כדי ש-\(h\) תהיה חח"ע., כלומר לכל \(\left(r,\theta\right)\in\left[0,\infty\right)\times\left[0,2\pi\right)\) מתקיים:\[
h\begin{pmatrix}r\\
\theta
\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}r\cos\theta\\
r\sin\theta
\end{bmatrix}
\]מהגדרה לכל \(\left(r,\theta\right)\in\left[0,\infty\right)\times\left[0,2\pi\right)\) מתקיים:\[
J_{h}\begin{pmatrix}r\\
\theta
\end{pmatrix}=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{array}\right]
\]ולכן גם:\[
\left|J_{h}\left(r,\theta\right)\right|=r\cos^{2}\theta-\left(-r\sin^{2}\theta\right)=r\cdot\left(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\right)=r
\]
מסקנה 3.2. מעבר להצגה קוטבית תהא \(D\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצה נורמלית בהצגה קוטבית, יהי \(\left[\theta_{1},\theta_{2}\right]\subseteq\left[0,2\pi\right]\) קטע סגור ותהיינה \(s_{1},s_{2}:\left[\theta_{1},\theta_{2}\right]\rightarrow\MKreal\) שתי פונקציות כך שמתקיים:\[
D=\left\{ \left(r\cos\theta,r\sin\theta\right)\in\MKreal^{2}\mid\theta\in\left[\theta_{1},\theta_{2}\right],\ 0\leq s_{1}\left(\theta\right)\leq r\leq s_{2}\left(\theta\right)\right\}
\]תהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה, מתקיים:\[
\iintop_{D}f\ dA=\intop_{\theta_{1}}^{\theta_{2}}\left(\intop_{s_{1}\left(\theta\right)}^{s_{2}\left(\theta\right)}f\begin{pmatrix}r\cos\theta\\
r\sin\theta
\end{pmatrix}\cdot r\ dr\right)d\theta
\]
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );